缀术

五卷。南北朝祖冲之(429－500)撰。祖冲之，字文远，范阳遒(今河北省涞水县北)人，生活于南朝的宋齐之间。461年任南徐州从事史，后回建康任公府参军，464年出任娄县令，晚年提升为长水校尉。祖冲之在天文历算、机械制造方面多有成就，462年编《大明历》呈送朝廷，还曾制造指南车，欹器，千里船，水碓磨等机械。在数学方面他曾研究过《九章算术》和刘徽注，并为《九章》与刘徽《重差》作注，并自著《缀术》一书。《缀术》曾于唐初立于学官，是“十部算经”之一，可惜至北宋元丰年间已经失传。现只能根据史料记载对其作些介绍。《隋书》卷十六称：“又设开差幂、开差立，兼以正圆参之，指要精密，算之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”可知《缀术》内容深奥难懂，受到冷遇。当代中算史家钱宝琮认为：“祖冲之钻研了《九章算术》刘徽注之后，认为数学还应该有所发展，他写成了数十篇专题论文，附缀于刘徽注的后面，叫它‘缀述’。也就是他的九章注。他在三十三岁以前，对于圆周率和球体积已有深入的研究，这些无疑是‘缀述’的重要部分。”(《中国数学史》)据《隋书·律历志》论备数节记载：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法。从圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，周二十二。”祖冲之用“盈朒二限”来限定一个尚未完全知道的数值的范围，这是一种创见。他的圆周率盈朒二限平均值3．14159265，已准确到小数第八位，是当时世界上最好的结果。由于《缀术》失传，人们无法得知祖冲之求圆周率的方法，只能进行推测。祖冲之的圆周率得到广泛应用，《隋书·律历志上》记载了561年后周以此率计算玉升的容积：“(玉斗)内径七寸一分，深二寸八分……今若以数计之，玉升积玉尺一百一十寸八分有，斛积一千一百八寸五分七厘三毫九秒。”由圆柱体积反求其所用之圆周率值为3．141592938，这与“密率”3．1415929相近。关于球体积的计算，即《九章》的开立圆术，误差很大，曾引起张衡注意，刘徽亦深入研究，为后人开辟了道路。祖冲之与其子祖暅在刘徽工作的基础上，抓住了关键性的“牟合方盖”的体积计算，一举解决了球体积的公式。他们把注意力从“牟合方盖”转到从立方体内去掉“牟合方盖”剩余部分——方盖差的求积，而方盖差正是由八个相等的小立体组成。他们用平行于底面的平面在高h处截小立方体及方盖差，发现在h处截得的牟合方盖截面积等于等高处方盖差的截面积，而这一截面积为高度h的平方。祖氏父子抓住这一特点，设计了一个底边长与高等于小立方体边长的倒正方锥，则它的平行于底面的截面积亦有此特点，即小方盖差与倒立正方锥在等高h处的截面面积总成对相等，对此祖暅提出了“幂势既同，则积不容异”著名原理。正方锥体积可求，为同底立方体的三分之一，于是可得小方盖差体积，进而可求得牟合方盖体积：，(r为其内切球半径)，再利用刘徽早已求出的球与牟合方盖体积之间的关系：V_球：V_牟=π：4，可求出：，这是球体积的正确公式。唐李淳风注释《九章》少广章开立圆术时曾引祖氏父子开立圆术“以二乘积，开立方除之即立圆径。……”约四百余字，当为《缀术》之引文。唐王孝通在《上缉古算经表》中称赞：“祖冲之‘缀术’，时人称之精妙。”故得李淳风注释而立于学官，需学四年。《缀术》最后失传使后人无从了解祖冲之所使用的求圆周率的方法，对中算史界可谓一巨大的损失。