议古根源

宋刘益(生卒年不可考)撰。《续资治通鉴》载：“(天禧)三年……三月……周怀政………俄于终南山修道观与殿直刘益辈造符命，托神言国家休咎或臧否大臣。”知刘益生活在北宋真宗(998－1023)年间，定州(今河北定县)人。刘益《议古根源》已失传，幸得杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引用了《议古根源》中的二十二个问题，成为我们研究刘益的主要依据。杨辉在《田亩比类乘除捷法》(1275)序中称：“中山刘先生作《议古根源》；……引用带从开方正负损益(系数不拘正负)之法，前古之所未闻也”。杨辉在《算法通变本末》上卷说：“刘益以勾股之术治演段锁方，撰议古根源二百问带益隅(首项为负)开方，实冠前古。”可见《议古根源》是在方程论方面作出创见的著作。在刘益之前解方程都有一定限制，首项系数是正的，而且是1。刘益《议古根源》二百问则突破了这一限制，二次项系数可不为1，亦不拘正负，甚至有一题是首项系数为－5的四次方程。关于一般二次方程的解法，刘益采用了“益积术”和“减从木”。益积术是先行估根，将估得结果与原未州数代换得一新方程，而这一新方程的常数项即原常数系之“积”益得的结果，故称益积术。在上述代换中常数移至右端变形，从隅中减去从法，即称减从木。刘益认为：“若不益积，便用减从；或有不可益积者，须用减从开之。”而四次方程式的解法为“增乘开方法”可谓此法在解高次方程的最早例子了。刘益的正负开方术，为杨辉多次引用，对宋元数学有一定的影响。《议古根源》的版本已不可考。