椭圆求周术

①清董祐诚、②清项名达撰。①董祐诚(详见《割圆连比例图解》)于1821年撰此书一卷。椭圆于明末从西方传入我国，并于十八世纪用于历算之中。对椭圆面积求法已有人研究，但其周长尚无人计算。董氏《椭圆求周术》自序：“椭圆求周旧无其术。秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆，是可以勾股形求之。”在此基础上，他仿照《九章算术》勾股章“葛生缠木”题的解法，以圆柱半周为勾，长轴、短轴平方之差为股平方，求弦得椭圆半周。他的公式今译是p=〔其中p为周，a、b为椭圆长、短半轴〕。显然这一公式是错误的。不过，董祐诚对此项研究具有开创之功。该书版本有《董方立遗书》本、《测海山房丛刻》本、《中西算学汇通》本、《西学大成》本、《富强斋丛书》正集本。②项名达(详见《象数一原》)撰。项名达对圆锥曲线深有研究，在去世前不久写成《椭圆求周术》，并于戊申(1848)冬致书戴煦：“弦矢互求，椭圆求周二种，为惬意之作，恐病躯不及蒇事，乞代整理”。1850年项名达死。戴煦遵嘱将原术整理并补《椭圆求周图解》。原书及图解共计二万五千字，附图十一幅。附于《象数一原》卷六之后。项名达是用初等方法求椭圆周长的：过椭圆长、短半轴作两同心圆，然后把一象限n等分，过分点向椭圆的长轴引垂线，与椭圆周有交点，过交点作椭圆弧的弦，再通过圆的周长求出椭圆的周长。在《椭圆求周术》中，项名达写道：“法以大径为径，求得平圆周为第一数。次以椭圆大半径为第一率，小半径自乘，大半径除之，转减大半径为第三率，乃置第一数，以三率乘之，一率除之，二自乘除之，为第二数。次置第二数，以三率乘之，一率除之，三乘之，四自乘除之，为第三数。次置第三数，以三率乘之，一率除之，三乘之，五乘之，六自乘除之，为第四数。次置第四数，以三率乘之，一率除之，七乘之，九乘之，八自乘除之，为第五数。……依次递乘递除，得数渐小至单位下止。第一数正，第二数下皆负，正负相减，即椭圆周。”项名达利用他所熟知的开平方捷法求椭圆周长，他的椭圆周长级数表达式，与用近代椭圆积分所得的结果完全相同。他注意到把大圆的象限弧“析分愈多，则椭弦渐与弧合，加减差愈后，而其差亦愈微，析至无量分，则椭弦和，即椭圆，象限亦无加减差可言矣。”这是一种积分思想。项名达的工作为我国独特的圆锥曲线理论的结果，一举完成了椭圆求周工作，至为难能可贵。《椭圆求周术》版本有1888年上海赵氏《高斋丛刻》本载《象数一原》内，现藏浙江图书馆；《古今算学丛书》本；《丛书集成初编》本。